Kompositionsgraphen und freie Erweiterungen von Kategorien

Lutz Schröder

ISBN 978-3-89722-239-7
122 pages, year of publication: 1999
price: 40.00 €
Kompositionsgraphen und freie Erweiterungen von Kategorien

Häufiger als gemeinhin angenommen begegnet man in der Mathematik Strukturen aus Objekten und Morphismen, die schwächer als Kategorien sind, indem etwa Morphismen nicht stets komponierbar sind oder gar das Assoziativgesetz verletzt ist. Hierunter fallen naiv gebildete Quotienten von Kategorien unter allgemeinen Kongruenzen, aber auch Ansammlungen strukturierter Mengen (z.B. Wahrscheinlichkeitsräume) mit nicht kompositionsstabilen Morphismen. Ferner dienen solche Strukturen als Erzeugendensysteme mit Relationen für Kategorien.

Vor diesem Hintergrund werden Kompositionsgraphen als Graphen mit einer fast axiomfreien partiellen Verknüpfung eingeführt; dieser Ansatz ist noch etwas allgemeiner als C. Ehresmanns Konzept der multiplikativen Graphen. Zusatzaxiome wie etwa verschiedene Formen von Assoziativitäts- oder Identitätsgesetzen werden gesondert auf ihre Bedeutung hin untersucht. Nach der Behandlung elementarer Konstruktionen wie Quotientenbildung, Faktorisierung von Quellen und der Bildung der freien Kategorie über einem Kompositionsgraphen werden wichtige Begriffsbildungen aus der Kategorientheorie wie etwa die der natürlichen Transformation, des adjungierten Funktors oder der Äquivalenz anhand geeigneter Charakterisierungssätze in diesen Kontext übertragen; eine zentrale Rolle spielt hierbei die Verallgemeinerung der Lawvereschen Kommakonstruktion.

Ferner werden Kompositionsgraphen zur Lösung von Erweiterungsproblemen in der Kategorientheorie verwendet; hierbei kommt die Lösung des Wortproblems in der freien Kategorie für eine Teilklasse von Kompositionsgraphen, die Semikategorien, zum Tragen. Auf diesem Wege wird etwa eine Erweiterung einer Kategorie um einseitige Inverse vorgegebener Epi- und Monomorphismen konstruiert und verschiedene Fragen hinsichtlich absoluter Intitalität und absoluter Monomorphie gelöst. Ein allgemeinerer Ansatz, in dem die Kompositionsgraphen durch Graphen mit Gleichungen beliebiger Länge ersetzt werden, erlaubt schließlich die Konstruktion freier Erweiterungen um Faktorisierungen gegebener Morphismen bzw. sogar freier Faktorisierungsstrukturen.

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Structures that resemble categories but are weaker in some respect, e.g. because arrows do not always compose, or even because the associativity law is violated in some way, occur more frequently than one is inclined to expect. Common examples include naively formed quotients of categories under arbitrary congruences as well as collections of structured sets (such as probability spaces) with morphisms that fail to be stable under composition. Furthermore, such structures serve as systems of generators and relations for categories.

Thus motivated, composition graphs are introduced as graphs with an almost arbitrary partial composition; this notion is even more general than C. Ehresmann's multiplicative graphs. Additional axioms, in particular the different forms of associativity and identity laws, are investigated individually with respect to their relevance and behaviour. After the treatment of elementary constructions such as quotients, factorizations of sources and the formation of the free category over a composition graph, important concepts such as the notions of natural transformation, adjoint functor and equivalence are carried over from category theory by means of suitable characterization theorems. In this context, the generalization of Lawvere's comma construction plays a central role.

Furthermore, composition graphs are used to solve extension problems in category theory; this method depends crucially on the solution of the word problem that arises in the formation of the free category over a composition graph; such a solution turns out to be available for a certain type of composition graphs called semicategories. In this way, a category can be extended such that given epimorphisms and monomorphisms become right respectively left invertible; moreover, several questions concerning absolute monomorphisms, absolute initiality and related properties are answered. Finally, a more general procedure in which composition graphs are replaced by graphs with equations of arbitrary length is introduced in order to construct extensions in which given morphisms admit certain factorizations; by iteration of such extensions, a construction of a free factorization structure over a given pair of morphism classes with suitable properties is obtained.