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Kollokation bei einer Cauchy-singulären Integralgleichung Erster Art
Robert Laube
ISBN 978-3-89722-135-2
97 pages, year of publication: 1998
price: 40.00 €
In dieser Arbeit wird eine Integralgleichung erster Art betrachtet, die
entsteht, wenn das klassische Randwertproblem aus der Potentialtheorie
als Integralgleichung formuliert wird. G.A. Chandler benutzte 1992
Kollokation, um die als glatt vorausgesetzte Lösung der Integralgleichung,
die zur Klasse der Cauchy-singulären Integralgleichungen gehört, zu
approximieren. Die theoretischen Ergebnisse waren jedoch insofern
nicht zufriedenstellend als sich praktisch eine
Konvergenzordnung von log n / n2 zeigte, aber nur log n /n bewiesen
werden konnte. Neuere Untersuchungen von H.N. Mülthei und C. Schneider
konnten diese Lücke für ein diskretes Kollokationsschema im
Spezialfall schließen, in welchem der Rand genau der Einheitskreis ist.
Es gelangen optimale Fehlerabschätzungen für schwach-singuläre Lösungen
und gehäufte Gitter.
Sie untersuchten das diskrete Gleichungssystem Hn vn (ti(n)) = f(ti(n)) , i= 1(1)n,
für die stückweise lineare Approximation vn der Lösung v von H v = f. Dabei war H die Hilberttransformation. Hn ergab sich, indem das Integral des Hilbert-Operators durch die summierte Trapezregel über einem gehäuften Gitter ersetzt wurde.
In einem ersten
Schritt werden hier nun diese Ergebnisse auf eine große Klasse von
Quadraturformeln verallgemeinert. Es sind jetzt weitere
Newton-Cotes-Formeln sowie beispielsweise die Gauß-Lobatto-Formeln abgedeckt.
Dies hat zur Folge, daß
theoretisch Konvergenzordnungen beliebiger Höhe möglich sind.
Es gibt viele offene Fragen zur Wahl geeigneter Kollokationsstellen. Die
sogenannten optimalen Kollokationsstellen, die im allgemeinen nur implizit
als Nullstellen einer nichtlinearen Funktion gegeben sind,
liefern die maximale
Konvergenzordnung im Falle der Trapezregel. Für den
Fall von schwach-singulären Lösungen ist aber die Verwendung von
gehäuften, nicht mehr äquidistanten Gittern notwendig, um optimale
Konvergenzergebnisse zu erhalten.
Es werden nun zunächst
einige Eigenschaften der betreffenden nichtlinearen Funktion
bewiesen. Anschließend kann die Lage der optimalen Kollokationsstellen
etwas konkretisiert werden.
Weiter konstruieren wir eine neue Approximation
der Lösung der Gleichung H u = f, mit deren Hilfe dann
gezeigt wird, daß auch mit bestimmten nicht-optimalen
Kollokationsstellen die maximale Konvergenzordnung zu erzielen ist.
Liegt nun nicht der Spezialfall vor, daß der Rand der Einheitskreis,
sondern eine beliebige, glatte, einfach geschlossene Kurve ist,
so gab es bisher nur Resultate von Chandler, der allerdings die
Glattheit der exakten Lösung voraussetzt. Man hat nun die Gleichung
HGamma u = f mit einem Cauchy-singulären Integraloperator HGamma
zu untersuchen. Dieser kann als kompakt gestörter Hilbert-Operator
geschrieben werden.
Nach der Definition der Diskretisierung von HGamma mittels der
Trapezregel beweisen wir anschließend Ergebnisse für Approximationen von
schwach-singulären Lösungen. Hierbei werden bereits
bekannte Aussagen von Mülthei und Schneider angewandt.
Ein weiteres entscheidendes
Hilfsmittel sind die zuvor ermittelten Resultate über das Verhalten der
Approximation von Hölder-stetigen Lösungen v von H v = f.
Abschließend lassen sich die Sätze leicht mit Hilfe früherer Aussagen über die Hilberttransformation und Quadraturformeln höherer Ordnung auch auf Klassen von Quadraturverfahren verallgemeinern.