Kollokation bei einer Cauchy-singulären Integralgleichung Erster Art

Robert Laube

ISBN 978-3-89722-135-2
97 pages, year of publication: 1998
price: 40.00 €

In dieser Arbeit wird eine Integralgleichung erster Art betrachtet, die entsteht, wenn das klassische Randwertproblem aus der Potentialtheorie als Integralgleichung formuliert wird. G.A. Chandler benutzte 1992 Kollokation, um die als glatt vorausgesetzte Lösung der Integralgleichung, die zur Klasse der Cauchy-singulären Integralgleichungen gehört, zu approximieren. Die theoretischen Ergebnisse waren jedoch insofern nicht zufriedenstellend als sich praktisch eine Konvergenzordnung von log n / n² zeigte, aber nur log n /n bewiesen werden konnte. Neuere Untersuchungen von H.N. Mülthei und C. Schneider konnten diese Lücke für ein diskretes Kollokationsschema im Spezialfall schließen, in welchem der Rand genau der Einheitskreis ist. Es gelangen optimale Fehlerabschätzungen für schwach-singuläre Lösungen und gehäufte Gitter. Sie untersuchten das diskrete Gleichungssystem
H_n v_n (t_i⁽ⁿ⁾) = f(t_i⁽ⁿ⁾) , i= 1(1)n,
für die stückweise lineare Approximation v_n der Lösung v von H v = f. Dabei war H die Hilberttransformation. H_n ergab sich, indem das Integral des Hilbert-Operators durch die summierte Trapezregel über einem gehäuften Gitter ersetzt wurde.

In einem ersten Schritt werden hier nun diese Ergebnisse auf eine große Klasse von Quadraturformeln verallgemeinert. Es sind jetzt weitere Newton-Cotes-Formeln sowie beispielsweise die Gauß-Lobatto-Formeln abgedeckt. Dies hat zur Folge, daß theoretisch Konvergenzordnungen beliebiger Höhe möglich sind.
Es gibt viele offene Fragen zur Wahl geeigneter Kollokationsstellen. Die sogenannten optimalen Kollokationsstellen, die im allgemeinen nur implizit als Nullstellen einer nichtlinearen Funktion gegeben sind, liefern die maximale Konvergenzordnung im Falle der Trapezregel. Für den Fall von schwach-singulären Lösungen ist aber die Verwendung von gehäuften, nicht mehr äquidistanten Gittern notwendig, um optimale Konvergenzergebnisse zu erhalten.

Es werden nun zunächst einige Eigenschaften der betreffenden nichtlinearen Funktion bewiesen. Anschließend kann die Lage der optimalen Kollokationsstellen etwas konkretisiert werden. Weiter konstruieren wir eine neue Approximation der Lösung der Gleichung H u = f, mit deren Hilfe dann gezeigt wird, daß auch mit bestimmten nicht-optimalen Kollokationsstellen die maximale Konvergenzordnung zu erzielen ist.
Liegt nun nicht der Spezialfall vor, daß der Rand der Einheitskreis, sondern eine beliebige, glatte, einfach geschlossene Kurve ist, so gab es bisher nur Resultate von Chandler, der allerdings die Glattheit der exakten Lösung voraussetzt. Man hat nun die Gleichung H_Gamma u = f mit einem Cauchy-singulären Integraloperator H_Gamma zu untersuchen. Dieser kann als kompakt gestörter Hilbert-Operator geschrieben werden. Nach der Definition der Diskretisierung von H_Gamma mittels der Trapezregel beweisen wir anschließend Ergebnisse für Approximationen von schwach-singulären Lösungen. Hierbei werden bereits bekannte Aussagen von Mülthei und Schneider angewandt. Ein weiteres entscheidendes Hilfsmittel sind die zuvor ermittelten Resultate über das Verhalten der Approximation von Hölder-stetigen Lösungen v von H v = f.

Abschließend lassen sich die Sätze leicht mit Hilfe früherer Aussagen über die Hilberttransformation und Quadraturformeln höherer Ordnung auch auf Klassen von Quadraturverfahren verallgemeinern.