Asymptotische Hyperfunktionen, temperierte Hyperfunktionen und asymptotische Entwicklungen

Andreas U. Schmidt

ISBN 978-3-89722-127-7
156 pages, year of publication: 1998
price: 40.00 €

Wir untersuchen Unterklassen von Kawais Fourier Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen. Ziel ist, asymptotische Entwicklungen von Hyperfunktionen zu studieren, wie sie für gewisse Distributionenklassen bekannt sind. Wir entwickeln zuerst die Theorie analytischer Funktionale auf Räumen integrabler Funktionen bezüglich Maßen mit polynomialem Wachstum im Unendlichen. Wir studieren die Dualität dieser analytischen Funktionale mit Wachstumsbedingungen und unbeschränkten Trägern ausführlich in einer Dimension unter Verwendung des von den Fourier Hyperfunktionen her bekannten exponentiell abfallenden Cauchy-Hilbert-Kerns. Daraus ergeben sich Analoga zu den Theoremen von Runge und Mittag-Leffler, die die Grundlage für die Garbentheorie der Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen sind, die wir sodann entwickeln.

Die für uns wichtigsten Klassen von Fourier Hyperfunktionen sind solche, die wie eine beliebige Potenz wachsen beziehungsweise schneller als jede Potenz abfallen. In höherer Dimension benutzen wir die Fouriertransformation und Dualität um das Verhältnis dieser temperierten beziehungsweise asymptotischen Hyperfunktionen zu bekannten Distributionenräumen zu studieren. Wir leiten Theoreme vom Paley-Wiener-Typ her, die es uns erlauben, unsere Hyperfunktionen in ein Schema zu ordnen, das Wachstumsordnung und Singularität gegenüberstellt. Wir zeigen, daß dieses Schema eine sinvolle Erweiterung des von Gelfand und Shilow eingeführten Schemas von Testfunktionenräumen ist.

Asymptotische Hyperfunktionen sind genau die Klasse von Hyperfunktionen, die Moment-asymptotische Entwicklungen erlauben, wie sie von Estrada et al. für Distributionen betrachtet wurden. Für Hyperfunktionen lassen sich aber - anders als bei Distributionen - die Moment-asymptotischen Entwicklungen als klassische asymptotische Entwicklungen holomorpher Funktionen verstehen. Es gilt zudem eine einfache Beziehung zwischen der Moment-asymptotischen Entwicklung und der Taylorentwicklung der Fouriertransformierten. Wir betrachten einige Beispiele der Moment-asymptotischen Etnwicklung, die ihr Anwendungspotential dokumentieren. Die asymptotischen Entwicklungen übertragen wir auf den höherdimensionalen Fall, indem wir die von Kaneko und Takiguchi eingeführte Radontransformation für Hyperfunktionen verwenden. Die wohlbekannte Beziehung zwischen Radon- und Fouriertransformation zeigt wiederum das enge Verhältnis von asymptotischer Entwicklung und Taylorentwicklung der Fouriertransformierten. Schließlich benutzen wir D. Kims Identifikation der Moment-Folgen von Hyperfunktionen mit kompaktem Träger, um die Moment-Folgen von Hyperfunktionen zu charakterisieren, die von Kugeln mit endlichem Radius getragen werden.

Im Anhang stellen wir die asymptotischen Entwicklungen verallgemeinerter Funktionen den sogenannten Störungsentwicklungen gegenüber und vergleichen beide Konzepte anhand von (unter anderem physikalisch motivierten) Beispielen.

Ein zweiter Anhang stellt die im Hauptteil verwendeten mathematischen Begriffe und Ergebnisse zusammen. Es folgen ein umfangreiches Literaturverzeichnis und ein Index, der auch die mathematische Notation umfaßt.

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