Numerische Lösung großer Lyapunov-Gleichungen

Thilo Penzl

ISBN 978-3-89722-110-9
145 pages, year of publication: 1998
price: 40.00 €

Zusammenfassung

In der Dissertation werden verschiedene numerische Lösungsverfahren für Lyapunov-Gleichungen vorgestellt und in numerischen Experimenten untersucht. Seit vielen Jahren stellen das Bartels-Stewart-Verfahren und das Hammarling-Verfahren die beiden Standardtechniken zum Lösen dicht besetzter Lyapunov-Gleichungen dar. Es wird eine Erweiterung des Hammarling-Verfahrens für verallgemeinerte Lyapunov-Gleichungen vorgestellt. Die Implementationen des verallgemeinerten Bartels-Stewart-Verfahrens und des verallgemeinerten Hammarling-Verfahrens werden im Detail beschrieben. Die beiden genannten direkten Verfahren sind nicht in der Lage, schwach besetzte Strukturen in den Koeffizientenmatrizen der Lyapunov-Gleichung zu nutzen. Außerdem sind sie schwer parallelisierbar. Aus diesen Gründen stellen Iterationsverfahren eine interessante Alternative dar. Leider ist die Effektivität der klassischen Iterationsverfahren (z.B. Smith-Verfahren, ADI) oft unbefriedigend, was die Konstruktion neuer iterativer Verfahren motiviert. Es werden verschiedene Niedrigrangverfahren für asymptotisch stabile, schwach besetzte Lyapunov-Gleichungen, deren rechte Seite einen niedrigen Rang besitzt, vorgeschlagen. Diese Iterationsverfahren basieren auf der ADI- und der Smith-Iteration. Sie ermöglichen das Lösen sehr großer Gleichungen und sind in vielen Fällen anderen Lösungsverfahren im Hinblick auf Speicherplatzbedarf und Rechenaufwand überlegen. Lyapunov-Gleichungen, die aus der Diskretisierung einer Klasse von partiellen Differentialgleichungen hervorgehen, lassen sich mit Mehrgitterverfahren lösen. Es wird ein solches Verfahren vorgeschlagen, das eine Alternative zum Mehrgitterverfahren von Rosen und Wang darstellt und gegenüber diesem algorithmische Vorzüge besitzt.