Beweis der Kongruenzen von Berwick sowie deren Verallgemeinerung und weitere Anwendungen von Torsionspunkten auf elliptischen Kurven

Augsburger Schriften zur Mathematik, Physik und Informatik , Bd. 8

Stefan Bettner

ISBN 978-3-8325-0709-1
152 pages, year of publication: 2004
price: 40.50 €

Im Jahr 1927 machte W.E. Berwick eine interessante Entdeckung im Bereich der algbraischen Zahlentheorie. Anhand von Beispielen konnte er erkennen, dass sich die Tatsache, wie sich eine Primzahl in einem imaginär-quadratischen Zahlkörper verhält, in der Faktorisierung der singulären Werte von j widerspiegelt. Berwick hatte dafür allerdings keinen Beweis.

In der vorliegenden Dissertation wird diese 75 Jahre alte Fragestellung nun umfassend beantwortet. Es zeigt sich dabei, dass für die von Berwick vermuteten Kongruenzen für die singulären Werte von j die Teilungspolynome der Weierstrass'schen Funktion eine entscheidende Rolle spielen. Die Quelle der Weisheit liegt dabei zum einen in den auf R. Schertz zurückgehenden normierten Teilwerten der Weierstrass-Funktion und zum anderen auf der nach K. Ramachandra, R. Schertz und W. Bley bekannten Faktorisierung der singulären Werte von phi. Auf diesem Weg lassen sich nicht nur die Aussagen von Berwick behandeln. Es ergibt sich darüberhinaus ein natürliches Analogon der Fragestellung von Berwick für beliebige Primzahlen. Weiter gewinnt man so auch Kongruenzen für die Teilungspolynome selbst, wie sie erstmals von J. Cassels beobachtet wurden.

Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich dann mit der globalen Konstruktion assoziierter Ordnungen. Das entscheidend Neue dabei ist die Möglichkeit, mit Hilfe der normierten Teilwerte für lokal definierte Ordnungen global erzeugende Elemente anzugeben. Die betrachteten Ordnungen treten dabei in natürlicher Weise in der Galoismodulstruktur der Ringklassenkörper auf.