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Das Poisson-Integral für Kugeln in Räumen konstanter Krümmung
Eleutherius Symeonidis
ISBN 978-3-8325-0655-1
79 Seiten, Erscheinungsjahr: 2004
Preis: 32.00 €
Das Dirichlet-Problem ist zweifellos eine der wichtigsten
Fragestellungen der Analysis. Dabei handelt es sich um die
Suche nach einer harmonischen Funktion auf einem Gebiet im
euklidischen Raum, die eine gegebene stetige Funktion auf
dem Rand des Gebietes in das Innere stetig fortsetzt. Dieses
Problem ist bei hinreichend glatt berandeten Gebieten eindeutig
lösbar, und die Lösungsfunktion läßt sich in der Form eines
gewichteten Integrals über die Randfunktion darstellen. Man
spricht vom Poisson-Integral, und das vom inneren Punkt abhängige
Gewicht heißt Poisson-Kern. Außer für ganz wenige Arten von
Gebieten (wie etwa für Kugeln oder Halbräume) sind keine expliziten
Ausdrücke für den Poisson-Kern verfügbar.In dieser Abhandlung werden die Poisson-Kerne für (geodätische) Kugeln in den nicht-euklidischen Räumen konstanter Krümmung und beliebiger Dimension berechnet. (Die Prototypen dieser Räume sind die euklidischen Sphären und die hyperbolischen Räume.) Dabei treten interessante Spezialfälle auf, wie der einer Halbsphäre und des damit zusammenhängenden elliptischen Raumes, in dem der Poisson-Kern eine ähnliche Struktur wie im Euklidischen besitzt. Ein ganzes Kapitel befaßt sich mit den Desintegrations- oder Faktorisierungseigenschaften des Poisson-Integrals. Desweiteren wird der Poisson-Kern für das äußere einer Kugel im hyperbolischen Raum konkret angegeben.
In allen Darstellungen, Ausdrücken und Formeln spielt die klassische hypergeometrische Funktion eine zentrale Rolle. Das nicht-euklidische Poisson-Integral stellt damit einen wichtigen Anwendungsbereich dieser Funktion dar.
