Simulation und Echtzeitsteuerung schwingender Saitennetzwerke

Ralf Hundhammer

ISBN 978-3-8325-0085-6
188 pages, year of publication: 2002
price: 40.50 €

In dieser Arbeit wird die Wellengleichung auf Netzwerkstrukturen untersucht. Wenn eine solche Struktur durch externe Einflüsse in Schwingung gerät, breiten sich in ihr die Wellenfronten mit endlicher Geschwindigkeit aus. An den Randknoten eines Netzwerks können nun Steuerungen angebracht werden, um das System in einen Zielzustand (z.B. eine Ruhelage) zu überführen. Der Echtzeitcharakter dieses Problems wird durch die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit vorgegeben: Sobald eine Wellenfront einen gesteuerten Knoten erreicht, soll mit einer geeigneten Steuerung darauf reagiert werden.

Zwei Fragestellungen spielen nun eine zentrale Rolle: Wie kann ein so komplexes System im Sinne der Parallelisierbarkeit der Berechnungen geeignet zerlegt werden und wie erhält man geeignete Steuerungsvorschriften?

Zunächst wird ein Saitenetzwerk mit Hilfe eines dynamischen Bereichszerlegungsverfahrens (Domain Decomposition Method, DDM) in seine physikalischen Bestandteile zerlegt, die einzelnen Kanten. Das daraus resultierende iterative Verfahren lässt eine Interpretation der Problemstellung auf einer Kante als Optimalitätssystem eines lokalen Steuerungsproblems zu. Die Transmissionsbedingungen in der DDM sind vom Robin-Typ, wobei primales und adjungiertes System gemischt auftreten. Unter Vorgabe eines geeigneten Zeithorizonts kann nun eine bzgl. eines quadratischen Kostenfunktionals optimale Steuerung berechnet werden.

Das Verfahren der Instantanen Steuerungen entfernt sich zugunsten der Echtzeitfähigkeit von dem Prinzip der optimalen Steuerungen. Für das globale System wird hier zunächst eine Zeitdiskretisierung vorgenommen. Die Optimierung findet dann in jedem Zeitschritt mit Hilfe des entsprechenden elliptischen Differentialgleichungssystems statt. Um diese Optimierung durchführen zu können, wird nun eine statische Bereichszerlegung verwendet, in der Transmissionsbedingungen vom gleichen Typ wie im dynamischen Fall auftreten.

Die Arbeit enthält zahlreiche numerische Beispiele zur statischen und dynamischen Bereichszerlegung ungesteuerter und gesteuerter Saitennetzwerke sowie Vergleiche zwischen optimal und instantan gesteuerten Systemen.