System des natürlichen Schließens der Quantorenlogik mit Identität

1. Beweisen Sie die folgenden Theoreme im System des natürlichen Schließens:

   1. $x P(x) Ù$x Q(x) Ù"x ~ (P(x) º Q(x)) É ~ "x "y   (x = y)

   2. $x P(x) Ù$x Q(x) Ù"x "y   (x = y) É $(P(x) º Q(x))

   3. "x "y (x = y) É ( ~ "x "z Q(x,z) É ~ $x "z Q(x,z))

   4. "x "y "z (x = y Úy = z Úx = z) É ($x $y (P(x) ÙP(y) Ùx ¹ y) É "z P(z))

   5. $x P(x) Ù$x Q(x) Ù"x "y   (x = y) É $(P(x) º Q(x))