System des natürlichen Schließens der Quantorenlogik ohne Identität

1. Beweisen Sie die folgenden Theoreme im System des natürlichen Schließens:

   1. "x P(x) Ú"x Q(x) É "x (P(x) ÚQ(x))

   2. $x P(x) Ú$x Q(x) É $x (P(x) ÚQ(x))

   3. "x "y R(x,y) É "x $y R(x,y)

   4. "x "y R(x,y) É "x "y "x R(x,y)

   5. "y ~ P(y) É ~ "y P(y)

   6. "x (P(x) É Q(x)) É ($z (P(z) Ù ~ R(z)) É ~ "x (Q(x) É R(x)))

   7. "x $y (Q(x,y) ÙR(x,y)) É "x "x¹ ($y Q(x,y) Ú$z R(x¹,z))

   8. $x "y (P(x) º Q(y)) É "y $x (P(x) É Q(y))