Ein axiomatischer Aufbau der Aussagenlogik

1. Begründen Sie, warum die folgenden scheinbaren Definitionen nicht die in der korrekten Definition gegebene Eigenschaft explizieren:

   1. Ein deduktives logisches System ist genau dann widerspruchsfrei bezüglich der Negation, wenn nicht A und ~ A beweisbar sind.

   2. Ein deduktives logisches System ist genau dann widerspruchsfrei bezüglich der Negation, wenn für jede Formel A gilt: A ist ein Theorem oder ~ A ist ein Theorem.

   3. Ein deduktives logisches System ist genau dann widerspruchsfrei bezüglich der Negation, wenn für jede Formel A gilt: A ist ein Theorem oder A ist kein Theorem.

2. Begründen Sie, warum die folgenden scheinbaren Definitionen nicht die in der korrekten Definition gegebene Eigenschaft explizieren!

   1. Ein deduktives logisches System ist genau dann semantisch vollständig, wenn A oder ~ A beweisbar sind.

   2. Ein deduktives logisches System ist genau dann semantisch vollständig, wenn für jede Formel A gilt: A ist ein Theorem und ~ A ist ein Theorem.

   3. Ein deduktives logisches System ist genau dann semantisch vollständig, wenn für jede Formel A gilt: A ist ein Theorem oder A ist kein Theorem.

3. Angenommen, es ist Ihnen gelungen, eine philosophische Argumentation in einem logischen System zu formalisieren (alle Sätze sind zu aussagenlogischen Formeln geworden) und Sie haben einen Beweis A₁, A_n, ¼, B für eine These B erhalten. Es stellt sich heraus, daß Ihr logisches System nicht widerspruchsfrei ist. Ist es sinnvoll, aufgrund des Beweises an B festzuhalten?
4. Angenommen, es ist Ihnen gelungen, eine philosophische Argumentation in einem logischen System zu formalisieren (alle Sätze sind zu aussagenlogischen Formeln geworden) und Sie haben einen Beweis A₁, A_n, ¼, B für eine These B erhalten. Es stellt sich heraus, daß Ihr logisches System nicht vollständig (aber widerspruchsfrei) ist. Ist es sinnvoll, aufgrund des Beweises an B festzuhalten?