Einladung zur Mathematik

Eine mathematische Einführung und Begleitung zum Studium der Physik und Informatik

Alfred Rieckers, Kurt Bräuer

ISBN 978-3-8325-0018-4
zweite erweiterte und korrigierte Auflage
308 Seiten, Erscheinungsjahr: 2002, 2004
Preis: 18.00 €

Rezension:

"Das Buch wurde als mathematische Einführung und Begleitung zum Studium der Physik und Informatik von zwei theoretischen Physikern der Universität Tübingen konzipiert. Es eignet sich darüber hinaus in Teilen aber auch zur Vorbereitung auf das Abitur und für die mathematische Begleitung in anderen Studiengängen. Aus der Einbettung der mathematischen Strukturen in historische und naturwissenschaftliche Zusammenhänge mag auch ein nur allgemein interessierter Leser seinen Gewinn ziehen." S. Weber in: PM - Praxis der Mathematik, Heft 11/ Oktober 2006 S. 44

Aus dem Inhalt:

Mathematik ist eine unentbehrliche Grundlage für die meisten der heutigen wissenschaftlichen Disziplinen. Die vorliegende Darstellung einiger mathematischer Gebiete wendet sich zwar in erster Linie an Physik- und Informatikstudenten, kann aber auch für andere Studienrichtungen nützlich sein. Aus der Einbettung der mathematischen Strukturen in historische und naturwissenschaftliche Zusammenhänge mag auch ein allgemein mathematisch interessierter Leser seinen Gewinn ziehen.

Ungewöhnlich ausführlich wird die Begründung der Zahlen behandelt, nachdem kurz die Grundbegriffe der Mengenlehre zusammengestellt wurden. Schon aus der strikt eingehaltenen Systematik geht hervor, dass alle Zahlen - auch die irrationalen, transzendenten und imaginären - durch die natürlichen Zahlen definiert werden, wodurch sie - wenigstens zum Teil - ihres mysteriösen Charakters beraubt werden. Die Dezimalbruch-Darstellung, sowie allgemeiner die q-adische Darstellung, der reellen Zahlen wird - wegen der aktuellen Bedeutung beim Computer-Rechnen - erklärt, wobei einige Aspekte bei den unendlichen Reihen später noch nachgetragen werden. Die Überabzählbarkeit, Vollständigkeit und Dichtheit dieses Kontinuums der reellen Zahlen wird erläutert und teilweise bewiesen.

Die Euklidische Vektorrechnung wird mit der Besprechung der historischen Euklidischen Axiome eingeleitet. Die eigentliche Vektorrechnung arbeitet mit reellen Tripeln, wobei die dreidimensionale Matrizen- und Determinanten-Theorie eigenständig aufgebaut wird. In einem späteren Abschnitt erst werden die Rechenregeln für Matrizen und Determinaten im n-dimensinalen Raum bewiesen. Großen Wert wird auf die klare Definition der physikalischen Vektoren gelegt.

Die Infinitesimalrechnung wird ausgehend vom schulischen Niveau umfassend dargestellt und an Hand von vielen Beispielen erläutert, die hauptsächlich aus dem Bereich der Physik und der Informationstheorie stammen. So werden ganz nebenbei Grundbegriffe eines mechanischen oder thermodynamischen Systems oder der Sinn eines Informationsmaßes erläutert.

Zur Vorbereitung der Extremalkriterien von Funktionen mehrerer Veränderlicher werden die Kurven im n-dimensionalen Raum und die Integrale darüber eingeführt. Dies leitet zu allgemeinen Gradientenfeldern und potentialtheoretischen Begriffen über. Die Verwendung n-dimensionaler Vektoren erlaubt eine kompakte Darstellung der mechanischen Grundgleichungen. Der Hauptsatz über implizite Funktionen ermöglicht die Behandlung von Extremalproblemen mit Nebenbedingungen. Die Konvexitätskriterien, die mit Extremalkriterien eng verwandt sind, werden u.a. in origineller Weise mit Hilfe von Legendretransformierten formuliert. Dadurch wird die Bildung der zahlreichen gemischten Ableitungen umgangen, die sonst bei kritischen Punkten höherer Ordnung ins Spiel kommen. Die Fencheltransformation begründet als Verallgemeinerung der Legendretransformation die Dualitätstheorie beliebiger konvexer und konkaver Funktionen und spannt den Rahmen für die konvexe Analysis und die thermodynamischen Potentiale auf.

Nachdem die mehrdimensionale Integration eingeführt wurde, kann die eigentliche dreidimensionale Vektoranalysis mit den fundamentalen Integralsätzen von Gauß und Stokes behandelt werden. Die physikalischen Bedeutungen der Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes werden ausführlich erläutert und veranschaulicht. Die Systematik bei der Herleitung der Differentiationsformeln für Vektorfelder wird offengelegt und die Anwendung auf die Greensche Potentialtheorie angedeutet.

Bei der Besprechung der Fouriertransformation werden neben den grundlegenden Tatsachen einige mathematische Feinheiten ausgeführt, die schon zu dem Gebiet der Funktionalanalysis gehören, die aber für Anwendungen (z.B. in der Regelungstheorie) durchaus nützlich sein können. Die Distributionstheorie wird sowohl in der Sprache des Physikers als auch in der Ausdrucksweise des Funktionalanalytikers dargestellt. Sie erweitert die Analysis beträchtlich und hat bei den Fouriertransformationen besonders spektakuläre Anwendungen wie z. B. bei der Transformation des Dirac-Kamms (Signaltheorie).

Die Wahrscheinlichkeitstheorie wird für Ereignismengen (Borelmengen) im eindimensionalen reellen Raum entwickelt. Für die Mittelwertsbildung wird die Lebesgue-Integration eingeführt. Die konvexe Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungen wird in Form von Maßen, verallgemeinerten Wahrscheinlichkeitsdichten (Distributionen), Verteilungsfunktionen und erzeugenden Funktionen realisiert. Die eindeutige Zerlegung der Verteilungen in diskrete, absolut stetige und singulär stetige Komponenten wird ausgeführt. Es wird gezeigt, auf welcher konvexen Teilmenge von Verteilungen die Entropie (Informationsverlust) und Relativentropie definiert sind. Das Momentenproblem und das Approximationsverfahren von Verteilungen durch Entropie-Maximierung werden besprochen.

Es wird eine Auswahl von Abschnitten gekennzeichnet, die sich als Grundlage für einen 14-tägigen mathematischen Vorbereitungskurs zum Studium der Physik und Informatik eignet.